M1.8. Logaritmos y sus propiedades
El logaritmo responde una pregunta inversa a la exponenciación: a qué exponente hay que elevar una base para obtener un número. Sus propiedades traducen multiplicación en suma.
Objetivos de aprendizaje
- Definir logaritmo como inversa de potencia.
- Usar propiedades con condiciones de dominio.
- Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas simples.
- Aplicar cambio de base y escalas logarítmicas.
Prerrequisitos y continuidad
Operaciones aritméticas básicas, lectura de símbolos, uso de la recta real y disposición para verificar resultados paso a paso. Este tema se apoya en los anteriores del curso y prepara el trabajo posterior con funciones, límites, álgebra vectorial y cálculo.
Mapa del capítulo
Idea central e intuición inicial
El logaritmo responde una pregunta inversa a la exponenciación: a qué exponente hay que elevar una base para obtener un número. Sus propiedades traducen multiplicación en suma. La Figura 1 resume esta organización: primero se identifican los objetos matemáticos, luego las operaciones permitidas y finalmente los controles de validez. Esta secuencia es deliberada: en M1 no alcanza con obtener un resultado; hay que saber por qué el procedimiento conserva el problema original.
Fórmula destacada (propiedad del producto).
\[\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N\] (1)
La ecuación (1) debe usarse junto con sus condiciones. Antes de aplicarla, conviene declarar dominio, unidades si aparecen magnitudes y tipo de objeto que se está manipulando.
Definición
Para base b positiva y distinta de 1, log_b(a)=x significa b^x=a. El argumento a debe ser positivo. Esta condición de dominio es esencial: no se puede tomar logaritmo real de cero ni de número negativo. Las bases más usadas son 10, e y bases explícitas.
Propiedades
log_b(MN)=log_b M + log_b N, log_b(M/N)=log_b M - log_b N y log_b(M^r)=r log_b M, siempre que los argumentos sean positivos. Estas propiedades no dicen que log(M+N)=log M + log N. El logaritmo transforma productos, no sumas.
Ecuaciones
Para resolver ecuaciones logarítmicas, se combinan propiedades, se pasa a forma exponencial y se verifica dominio. Para ecuaciones exponenciales, tomar logaritmos permite bajar exponentes variables. La verificación evita soluciones que hacen argumentos no positivos.
Escalas
Escalas como pH, decibelios o Richter usan logaritmos para comprimir rangos enormes. Una diferencia de una unidad puede representar factor 10, no suma de 1 en la magnitud original. Por eso leer escalas logarítmicas exige pensamiento multiplicativo.
Ejemplo trabajado de lectura matemática
log_2(32)=5 porque 2^5=32. Si log(x-1)=2 en base 10, entonces x-1=100 y x=101, que cumple x-1>0. La Figura 2 muestra la lógica general de este tipo de procedimiento: leer datos, elegir propiedad, ejecutar y verificar.
Procedimiento de estudio recomendado
- Nombrar el objeto matemático involucrado y escribir su dominio.
- Elegir una propiedad o fórmula justificada, como la ecuación (1), evitando transformaciones que cambien el problema.
- Resolver de forma ordenada, dejando visible cada paso algebraico o geométrico.
- Verificar el resultado en el enunciado original, no solo en la expresión transformada.
- Expresar la respuesta con notación adecuada: número, intervalo, conjunto, figura o explicación.
Errores frecuentes y cómo evitarlos
La Figura 3 resume la idea de control: cada error debe asociarse a una prueba breve que permita detectarlo antes de entregar una respuesta.
| Error | Corrección conceptual |
|---|---|
| Distribuir logaritmo sobre suma | log(a+b) no es log a + log b. |
| Olvidar dominio | Todo argumento logarítmico real debe ser positivo. |
| Confundir base y argumento | En log_b(a), b es base y a argumento. |
Autoevaluación
- Resuelve log_3(x)=4.
- Aplica cambio de base.
- Explica por qué pH es escala logarítmica.
Ficha de repaso rápido
- Concepto rector: transformar sin perder equivalencia ni dominio.
- Fórmula guía: ecuación (1), aplicada solo bajo sus condiciones.
- Control principal: verificación en el enunciado original.
- Recurso asociado: usar Calculas para comprobar resultados después del razonamiento manual.